管内とは？
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管内流れは層流域と乱流域で状態が大きく異なる。管内の流量が増加すると層流から乱流に遷移するが、その変化がどのような条件で決まるかを実験と深い考察により示したのが英国の物理学者レイノルズReynolds(1883)であった。 彼は管内の流動状態を観察するためインクを管内流れに導き、その乱れの変化を流量、管径と水温（密度と粘度）を変化させて観察した。 ここでl は流れの代表長さ、代表流速u、流体の密度ρ、粘度μである。Re数は無次元数であるから同じ状態であれば使用する単位系にかかわらず値が同じである。管内の流れに対しては、流れの代表長さlに管の内径Dを用いて、Re=ρuD/μを用いる。 Re を臨界レイノルス数という。この値はレイノルズが実験的に得たRec=2300が多く採られており（そのほか2000, 2100, 3000などが教科書に書かれている）、状態によってはこれより大きいReでも層流が保たれるが、これが下限である。 =3×105 である．これは円管の臨界レイノルズ数2000とはずいぶん違う。しかし前章の図のようにControl Volumeを考えると、代表的速度勾配はu/δ（δ：位置xでの境界層厚み）なので，Reδ=ρuδ/μとなる．境界層では Reδ=5.0√Rex（δ/x=5.0√Rex）なので、これを使うと遷移はReδ=2700となり、円管に近くなる．（円管のほうは径Dでなく半径rを使ったReが対比できる） 結局，円管でも平板上でも，流れ込む運動量が速度勾配のせん断力により伝わる運動量Fluxの1000倍以上になるともはや定常な速度勾配によって運動量は移動しきれずに"渦"で移動し始める、と言うことができる。 ここでS は流れの断面積、lp は流体が接触している固体壁周辺の長さ、すなわち浸辺長(wetted 前章で基礎式であるナビエ・ストークスの式からこれを簡略化することで管内層流速度分布を求めたが、ここでははじめから導出してみる。 これが放物線速度分布から求められた、円管内層流における流体の内部摩擦にもとずく圧力損失をあらわす理論式で、ハーゲンーポアズイユ(Hagen-Poiseuille)の式という。 厳密には乱流状態では同一位置でも速度がたえず変動しており、決まった速度分布というものはない。しかし工学的扱いでは時間的の平均値をもちいれば十分である。乱流における速度分布とはこのような時間平均値を意味している。 円管内乱流の最大速度umaxはもちろん管中心にあるが、管内平均流速umとumaxの関係はRe数に依存して、um 円管内乱流の速度分布uに関しては膨大な研究と多数の方法があるが、（１）対数法則と（２）指数法則を述べる。 対数法則は半理論的に得られたもので、管壁から管中心までを３部分にわけ、各部分の速度分布の式を与えたものである。まず管壁面に働く摩擦せん断力τwにより摩擦速度u* x +でわけられた各領域はそれぞれ層流底層、遷移層、乱流本体と呼ばれる。この対数法則はRe数に無関係な一般的速度分布(universal velocity distribution)である。この式は平板に沿って流れる乱流の速度分布に対しても適用できる。 がPlandtlの混合長というもので、分子運動における平均自由行程を乱流中の渦に対して考えたものである。第２項中のρl Plandtlは以下のようにこの1/7乗速度分布を導いた。円管の半径をr0とする。管壁での摩擦力はτw=ΔPr0/2L 管壁の近くの速度分布は管壁からの距離yのみに比例する（層流底層）から、τwはr0に無関係なはずである。よって、 Plandtlはこのようにして圧力損失の実測関係から乱流の管内速度分布を予測した。これを1/7乗則速度分布式(seventh 管入り口から一様速度で流入すると、管壁に沿って境界層が発達し、それが厚みを増して中心部に達すると、管内の速度分布は一定（放物線速度分布など）になる。この十分に発達した流れ(Fully である。例えばRe=1000のときX/D =65となり、管径の65倍の距離を経なければ定常速度分布にならない。助走区間では圧力損失が余分に生じる。オリフィスによる流量測定や毛細管による粘性係数測定では特にこの点に注意する必要がある。 管路内を流体が流れるときいろいろな原因によって機械的エネルギーの消耗が起こり、その結果エネルギーの一部が損失となる。このエネルギー損失には流体の内部摩擦によるものや管路断面の変化にもとづくもの、管路内に挿入された継ぎ手や弁類にもとずくものがある。 管径一定で水平な直管内を流体が流れる場合のエネルギー損失は、管壁と流体との摩擦および流体内部の摩擦にもとずくもので、これを特に摩擦エネルギー損失(friction 実際に圧力損失を計算するにはτwと圧力損失の関係（管壁でのせん断力と管入り口出口の圧力のつりあい式）： 実用的には無次元数である摩擦係数fを決めるとFf⇒圧力損失ΔP⇒損失ヘッド、が計算できる。f をReおよび管壁面粗さの関数としておらわしておけば、無次元数間の関係なのでスケールを問わずその関係が使えるはずである。 である。これは層流範囲の圧力損失を表わす理論式でハーゲン−ポアズイユ(Hagen-Poiseuille)の式と呼ばれる。実測値とよく一致し、粘度測定の基礎式としても用いられる。 【例題】長さL、半径r0、の細管に粘性率μ、密度ρの流体が平均流速uで流れているとき、管内に働く全抵抗として正しいものはどれか。 【解】ここでの｢抵抗｣とは｢抵抗力R｣のことであり、圧力損失（管上流・下流の圧力差）を力であらわしたものである。すなわち（管断面積）×（圧力損失）： として使用される。この式をPlandtlの管内摩擦係数の一般法則またはカルマンの式と呼ぶ。適用範囲は3×103<Re<3×106。この式はf について陰関数なので、実際の摩擦係数の計算には試行法が必要であり使いにくい。しかし以上のような理論を尊重してこの形式で書かれている。 実際の計算で乱流の摩擦係数を求めるには上式の線図または、カルマン式を近似しさらに粗度の影響を含めた式 loss)Fe 管路の断面積がA1からA2に拡大し、その結果平均流速がu1からu2に減少し、圧力がP1からP2に変化した場合のエネルギー損失を考える。いまエネルギー損失が無いとした場合の下流圧力をP2’とすると、 これは下流のほうが圧力が高いことを述べている。しかし実際は損失によりP2’ほど圧力は高くならない。すなわちベルヌイ式は、 相当長さは継手や弁などが与えるエネルギー損失と等しいエネルギー損失を与える直管の長さである。なお、層流の場合は無視してよい。 [m](2-3m)水槽から内径D =0.05mのガス管で配管している。水槽の水位が一定として、仕切弁全開のときの流量を求める。管摩擦係数はf |
[ 204] 流体工学 fl7 管内流れ 圧力損失 ハーゲンポアズイユ 管摩擦係数
[引用サイト] http://irws.eng.niigata-u.ac.jp/~chem/itou/fl/fl7.html
