三角形とは？
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三角形を書けと言われたときに、次の3つの条件のうちどれかが与えられれば三角形を書くことが出来ます。 まず1.の条件です。3cm、4cm、5cmという辺の長さが与えられた時は、どんなに頑張っても下の図のような三角形しか書けません。 4cmの辺と3cmの辺の間の角は必ず90度になります。ちなみにこれがいわゆる「3:4:5の三角形」というやつです。 次に2.の条件です。二つの角が30度、60度でその間の辺の長さが6cm、と与えられたときはどんなに頑張っても下の図のような三角形しか書けません。 当たり前ですが、残りの角は90度になります。そして、他の辺の長さは3cm、3×31/2になります。（31/2というのは、3のルートのことです。） 最後に3.の条件です。二つの辺の長さがどちらも3cm、その間の角が90度、と与えられた時はどんなに頑張っても下の図のような三角形しか書けません。 残りの角はどちらも45度になっています。信じられませんでしたら分度器で測ってみてください。斜めになっている辺の長さは3×21/2です。 三角形が2つあったとします。その三角形が相似（形が同じだけど大きさが違うってことです）であるためには下記の3つのうち1つを満たしている必要があります。 1.しか重要ではないので1.だけ説明します（ちなみに、高校受験でも1.の条件だけ覚えていれば大丈夫です。私の経験上。難しい高校は別ですけど）。 角度が30度、90度と与えられている三角形が2つあります（辺の長さは違います）。この2つの三角形は相似です。 つまり、角度が30度、90度と与えられている三角形の辺の長さの比は、以下の図のようになります。数字が赤いのは辺の長さと区別するために赤くしてます。 ここで特に分かって頂きたいのは、角度が同じ三角形ってのは対応する三つの辺の比が等しいということです。 上の図でいきなりルート3というのが出ていますが、それは三平方の定理（中学3年生程度）で出てきます。詳細は、次に書きます。 確かピタゴラスの定理とも言ったと思います。下のような三角形があった時、辺の長さには以下の式のような関係があります。証明は当然却下です。周りにいる頭のいい中学3年生にお聞きになって下さい。 三角形を使って数値を計算させる問題の場合、sinθがいくつとか与えられていない限り、かならずこの三角形のどれかに当てはまります。なぜなら、そうじゃないと電卓がないと計算出来ないからです。したがって、三角形が出てきたらまずこのつの三角形を当てはめてください。 |
[ 160] 三角形の性質
[引用サイト] http://www8.plala.or.jp/ap2/suugaku/sankakukeinoseishitu.html
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三角形（さんかくけい、さんかっけい、triangle）は、同一直線上にない 3 点と、それらを結ぶ 3 つの線分からなる多角形。その 3 点を三角形の頂点、3 つの線分を三角形の辺という。 三角形の 2 つの辺でできる角をその三角形の内角（または、単に角）という。図 1 でいえば、∠ACB が内角の 1 つとなる。三角形は 3 つの内角をもち、その和は 180 度となる。また、∠ACD のように 1 つの辺と 1 つの辺とのとの延長線によってつくられる角を三角形の外角という。また、三角形である頂点（角）に向かい合う辺を対辺という。 一般に三角形の頂点やその頂点の内角、内角の大きさを表すときには大文字のアルファベットを用いる。角の対辺やその長さを表すには対応する小文字のアルファベットを用いるか、2 つの頂点の記号を並べて表す。たとえば、図 2 の角 A の対辺は a または辺 BC として表す。 三角形のどの辺の長さも他の二辺の長さの和より小さい。すなわち、三角形を構成する3辺の長さをa、b、cとするとき、次の三つの不等式が成り立つ。 この関係は三角不等式として一般化される。 逆に、この不等式が三つとも成り立てば、a,b,cを3辺の長さとして三角形が作れることが知られている。 角の大きさが 0 度より大きく 90 度より小さい場合、その角を鋭角という。角の大きさが90 度の場合、その角を直角という。角の大きさが 90 度より大きく 180 度より小さい場合、その角を鈍角という。三角形の内角の和は 180 度なので、三角形は 90 度以上の大きさの角を 2 つ以上は持てない。すなわち、三角形の内角はすべて鋭角か、一つの直角または、鈍角をもつかのいずれかである。 ここで、すべての角が鋭角である三角形を鋭角三角形（図 2）、1 つの角が直角である三角形を直角三角形（図 4）、1 つの角が鈍角である三角形を鈍角三角形（図 3）という。 また、辺の長さが全部異なる三角形を不等辺三角形（図 2）という。2 つの辺の長さが等しい三角形を二等辺三角形（図 5）という。また、2 つの辺が等しい直角三角形を直角二等辺三角形（図 6）という。3 つの辺の長さがすべて等しい三角形を正三角形（図 7）という。 直角三角形の直角の対辺を斜辺という（図 4）。直角三角形では、斜辺がほかの 2 つの辺よりも必ず長い。最大辺が c の △ABC が直角三角形であることは、次の公式 二等辺三角形の等しい 2 つの辺が作る内角を頂角といい、残りの 2 つの内角を底角という。また、頂角の対辺を底辺という。△ABC が b = c の二等辺三角形であることは、∠B = ∠C であること、また ∠A の二等分線が辺 BC を垂直に二等分することとそれぞれ同値である。 直角二等辺三角形の頂角の大きさは 90 度であり、底角の大きさはそれぞれ 45 度となる（図 6）。 正三角形の内角はすべて等しく 60 度となり、三辺の長さも等しい。また任意の 1 角が 60 度である二等辺三角形は正三角形である。（図 7）。 1 つの辺、またはその延長線と直角に交わる直線をその辺にたてた垂線といい、垂線とその辺との交点を垂線の足という。ある辺にたてた垂線が、それに対する頂点を通るとき、垂線の足とその頂点との距離をその三角形の高さという。高さは 3 つの辺に対して定義できる。ある頂点 A の対辺 a に対する高さが ha のとき、三角形の面積 S は 三角形の 3 つの内角の二等分線は 1 点で交わる。この点のことを内心という。内心は 3 つの辺から等距離であり、内心を中心として半径がその距離である円は 3 つの辺に接する。この円のことを内接円という。 三角形の 3 辺の垂直二等分線は 1 点で交わる。この点のことを外心という。外心は 3 つの頂点から等距離であり、外心を中心として半径がその距離である円は 3 つの頂点を通る。この円のことを外接円という。 外心は三角形の内部にあるとは限らない。鈍角三角形の場合は外側にあり、直角三角形の場合は斜辺上にある。 三角形の頂点とその対辺の中点を結ぶ 3 つの線分は 1 点で交わる。この点のことを重心という。また、それぞれの線分を中線といい、重心は中線を 1 : 2 の比で分割する。 三角形の 1 つの内角と他の 2 つの外角の二等分線は 1 点で交わる。この点のことを傍心（ぼう しん）という。三角形に傍心は 3 つある。傍心は 1 つの辺と 2 つの辺の延長線と等距離にあり、傍心を中心として半径がその距離である円を傍接円という。 2 つの三角形を移動して重ねあわせることができるとき、この 2 つの三角形は合同であるという。ここでいう移動とは、平行移動、回転移動、対称移動を組み合わせたものである。 ある 2 つの三角形について、以下の条件のうち 1 つでも満たしていれば、その 2 つの三角形は合同となる。これを三角形の合同条件という。この条件は「三つの条件のうち、どれかが与えられれば三角形は決定される」、「相似の特別な場合である」（これは一般の多角形についても成り立つ）と解釈する事もできる。 なお、二角夾辺相等については、「一辺両端角相等」などの表記もみられる。また、三角形の内角の和が 180 度である事を考えれば、必ずしも、辺を挟む 2 角が与えられていなくとも良い事が分かる。 ある 2 つの三角形について、以下の条件のうち 1 つでも満たしていれば、その 2 つの三角形は相似である。 二辺比夾（挟）角相等（二辺の比と夾（挟）角相等）: 対応する 2 組の辺の長さの比と、挟まれる角の大きさがそれぞれ等しい 特に、正三角形（内角が全て60度）と直角二等辺三角形（内角が90,45,45度）については互いに相似である。 |
[ 161] 三角形 - Wikipedia
[引用サイト] http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2
