集合とは？
|
数学における集合（しゅうごう、set, ensemble, Menge）とは、いくつか（有限または無限）の「もの」からなる「集まり」である。集合に含まれる「もの」のことを元（げん、element; 要素）という。 集合は、集合論のみならず現代数学全体における最も基本的な概念の一つであり、現代数学のほとんどが集合と写像の言葉で書かれていると言ってよい。 慣例的に、ある種の集合が系（けい、system）や族（ぞく、family）などと呼ばれることもある。実際には、これらの呼び名に本質的な違いはないが細かなニュアンスの違いを含むと考えられている。例えば、方程式系（"相互に連立する" 方程式の集合）、集合族（"一定の規則に基づく" 集合の集合）、加法族（"加法的な性質を持つ" 集合族）など。 集合は「もの」の「集まり」である。集合の元（要素）として集められる対象となる「もの」は、数、文字、記号などをはじめ、どんなものでも（もちろん集合でも）構わない。 一方で、どんな「集まり」でも集合と呼んで良いわけではない。その「集まり」が集合と呼ばれるためには、対象が「その集まりの元であるかどうかが不確定要素なしに一意に決定できる」ように定義されていなければならない。 集合と元、集合と集合などの間には含んだり含まれたりといった素朴な関係を考えることができる。対象 a が考えている集合 A の元になっているとき、「a は集合 A に属す」「集合 A は a を元として含む」などと言い、a ∈ A と表す。 2 つの集合 A, B について、A に属する元がすべて B にも属するとき、すなわち a ∈ A ⇒ a ∈ B が a の取り方に依らずに成り立つとき、「A は B の部分集合である」「A は B に集合として含まれる」「B は A を包含する」などといい、A ⊂ B または A ⊆ B と記す。 1 つも要素を含まないような集合を空集合といい、{} または と表す。全ての集合は空集合を部分集合として含む。 2 つの集合が同じ元を全て含み、なおかつ異なる元を含まないとき、2 つの集合が等しいという。集合 A と B が等しいことを A = B と表す。 具体的な集合を取り扱うためには、集合を具体的に記述する方法が必要である。たとえば集合に属する元をすべて列挙することが 1 つの方法である。たとえば 10 未満の自然数におけるのなかで奇数であるもの全体の集合は と記すことができる。「集合に属する元をすべて列挙すること」で集合を記述する方法を集合の外延的記法と言う。集合は、順番を入れ替えたり、同じものを付け加えても、もとのものと等しい： 「ある集合に属するために元が満たさなければならない条件を明示すること」で集合を記述する方法を内包的記法と言う。対象 x がある集合に属する条件が P(x) であるということを {x | P(x)} という記号で表す。つまり と記せば、S は P(x) を満たすようなすべての元 x から構成される集合であるという意味である。なお、"|" のかわりに ":" が用いられることもある。 のようにも書かれるが、"..." の部分が何を言っているのかが明らかな場合以外は混乱を生じる恐れがあり、注意して使わなくてはならない。 有限個の元からなる集合を有限集合（ゆうげんしゅうごう、finite set）と呼び、集合 A の元の個数を #(A), |A|, card(A) などの記号で表すことが多い。有限集合でない集合を無限集合（むげんしゅうごう、infinite set）という。無限集合に対しても「個数」の概念を広げて、基数（きすう、Cardinal number, Cardinarity; 濃度）というものを考える。個数を数える代わりに、ある集合を使って、その元で別の集合をラベル付け（indexing; 添字付け）して、一対一の対応がとれるかどうかを調べるのである。そうすると有限集合の濃度はちょうど元の個数で決まるので、ちゃんと無限集合への「個数」の拡張となる概念が定まっていることが確認できる。 無限集合はどれも「無限個」の元を持っているわけだが、どの無限もみな同じというわけではなく、濃度の概念ではたくさんの無限を区別して扱うことになる。たとえば、自然数と有理数や、数直線と平面が同じ濃度を持つ、自然数と実数は真に異なる濃度を持つといったような事実は数学を学ぶ者にとってよく知られた内容である。一方で 平面 R2 と数直線 R は同じ濃度を持ち、平面を覆いつくす平面充填曲線と呼ばれる不思議な平面曲線が何種類も存在することが述べられる。より次元の高い空間でも同様で、空間を埋め尽くす空間充填曲線が構築される。異なる次元をもつ空間が同じ濃度をもつというのは、次元が濃度では測れない異なる尺度であることを表しているのである。 いくつかの集合を扱い、その関係性について論じるとき、もともと考えていた集合たちから新しい集合を作って調べるというのは有効な手段の一つである。 |
[ 126] 集合 - Wikipedia
[引用サイト] http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%86%E5%90%88
|
このコーナーでは、企業でWebサイトの運営に携わっている方、マーケティング部門等でWebの活用法について考えておられる方向けに、Webマーケティングの実践のための手法やノウハウ、事例をご紹介していきます。市場に出回る書籍や雑誌では論じられることない、Webマーケティングの最前線に触れていただければと思います。 「集合知の利用」といえば、オンライン百科事典のWikipediaや、del.icio.us、Flickrなどのサイトで使われるFolksonomy（ソーシャル・タギング）、LinuxやPHPなどのオープンソース・プロジェクトなどを思い浮かべる方が多いのではないでしょうか？ こうしたWebサービス、オープンソースの恩恵を受けている方にとっては、もはや「集合知の利用」などという言葉はいまさらと感じるのかもしれません。 しかし一方で、Webの情報そのものの信頼性に疑問を持つ方は「集合知の利用」といわれても、ネガティブなイメージを持ってしまったりもするのではないかと思います。 また「群集心理」という言葉に代表されるように、一般的に集団は個人を愚かにしたり、狂わせたりするものだと思われていることもあり、そもそも「集合知」というものに対して懐疑的な方もいらっしゃるでしょう。 こうした２者間のギャップは、単にWeb2.0というワードには還元できない、より深いレベルでの思想の相違があるように思います。 今回と次回は、このギャップに潜む思想の相違とはどういうものか、また、今後、ギャップは解消されるのか？といった点を考えてみたいと思います。 「集合知の利用」を理解する上では、全米でベストセラーにもなった『「みんなの意見」は案外正しい』（ジェームズ・スロウィッキー著、原題：The wisdom of crowds）という本が参考になります。 著者のスロウィッキーは、この本で主張しているのは「専門家を追いかけるなんてことは間違いで、しかも大きな犠牲を伴う間違いだ」ということだと書いています。一握りの天才や専門家の判断よりも、普通の人が集まったごく普通の集団の判断の方が実は賢いことが往々にしてあることを示し、「専門家を追いかける代わりに、集団に答えを求めるべきなのだ」と述べています。 また、この本は梅田望夫さんの『ウェブ進化論』の中でも紹介されており、"「適切な状況の下では、人々の集団こそが、世の中で最もすぐれた個人よりも優れた判断を下すことがある」というテーマを追求した刺激的な本"と評されています。 個人の回答には情報と間違いという２つの要素がある。算数のようなもので、間違いを引き算したら情報が残るというわけだ。 つまり、集団の知恵は単に個々人のもつ情報が足し算されるだけでなく、集団の回答を均す際に「一人ひとりの個人が回答を出す過程で犯した間違いが相殺される」ことで、プラス面でもマイナス面でも優れた専門家の知恵を超える可能性が高くなるのです。 暴動や株式バブルを考えてみればすぐわかると思うが、個人の判断を積み重ねることで集合的にまったく合理性のない意見がつくられることがある。（中略）このような失敗は、本書の主張を裏から支える証拠だ。集団が賢くあるためには欠かせない多様性と独立性という条件がないと生じる事態を端的に示すからだ。 多様性：それが既知の事実のかなり突拍子もない解釈だとしても、各人が独自の私的情報を多少なりとも持っている 個々人がもつ私的情報は常に不完全な情報であり、そのため、私たち個々は「有限の合理性しか持ちえない存在」です。しかし、「制約がどんなに多くても、一つひとつの不完全な判断が正しい方向に積み重ねられると、集団として優れた知力が発揮されることも多い」そうです。 これは見方を変えれば、PDCAサイクルによる継続的改善において、プラスを積み重ね、マイナスをそぎ落としていく累積的な過程と同様のものであるといえるのではないでしょうか。 その際、両者の違いはそれが時間的に多様性、独立性、分散性をもつのか、集団のメンバーである個人間でそれらをもつのかの違いだと考えることもできると思います。 継続的改善においても、賢い集団の知恵においても、重要なのはプラス面の累積と引き算による個々の間違いのそぎ落としです。 個々の情報を集約して集合知を形成するプロセスにおいては、その過程で玉石混交の情報群の中から価値ある情報だけが自然に生き残るような情報淘汰の仕組みが必要となるでしょう。 この情報淘汰は、Webのネットワーク上ではスロウィッキーも例に挙げているようにGoogleをはじめとする検索エンジンが頻繁に利用されるWeb環境ではおなじみのものです。 情報淘汰の結果を価値あるものとして維持するため、検索エンジンは数日前に話題となったような、検索結果の品質を歪めることにつながる、リンクポピュラリティを高めるためだけに大規模なリンクネットワークを構築するようなSEO対策を行ったサイトにペナルティを科すこともあります。 人工的なリンクネットワークの構築は、先の４つの要件でみてもその１つの要素である独立性を損なうものだといえるでしょう。 検索エンジン側の徹底したスパム対策が有効に働いている限りは、情報淘汰はうまく機能し、必要な情報を必要なときに得られるというWeb検索のメリットを保たれるでしょう。 しかし、Webのネットワーク上のすべてが「賢い集団」として機能しているかといえば、決してそうとは言えません。 個々の意見の多様性、独立性、分散性が確保されないために、集団が極端な意見や行動を示す現象が見られることも決して少なくはないでしょう。 天邪鬼がいないところでは、話し合いが行われた結果、集団の判断が前よりもひどい内容になることもある。これは「集団極性化」と呼ばれる現象が原因だ。 集団が極端な傾向を見せる場合には、『ウェブ進化論』のヒットに見られるようなスピーディーで大規模な口コミ感染が拡がるようなその影響が良い面に出ることもありますが、一方で「祭り」と呼ばれるような行為に多くのユーザーが加担することで、その影響が悪い面に出てしまうことも少なくはありません。 先の引用でも見たように、集団が多様性や独自性を失うことで極端な傾向を示すのは、暴動や株式バブルといった形でオフラインの世界でも起こりえることであり、Webのネットワークに限ったことではありません。 しかし、Webがこれだけ人々の生活やビジネスに密着するようになったきた今だからこそ、この問題は十分考える必要があるのではないかと思います。 このブログは非常にわかりやすくかつ学術的で内容が濃い。最近このWEｂの「集合知」をアナログで実践した書、客が客を呼ぶ集団感染のスゴイ仕掛けが話題になっているが、非常に群集心理、特に共同体心理、マックスウエーバー的に解説してあり参考になった。非常に興味深いテーマである。 集合知の活用に関しては、Webの利用シーンが多様化し、社会的にも情報化が進む中で、ますます重要なテーマになってくると思います。 概要：以前から、「日本のＳＥ（システム・エンジニア）の中で、本当に“開発”している人はどれぐらいいるんだろう？」という疑問があります。 実は何か新しいモノを作... Web制作、ホームページ作成、Flash制作：Webサイト構築、Webサイト運用：ブロードバンドコンテンツ（音声制作、動画制作）：システム開発、Webマーケティング、Webブランディング、Webコンサルティング・・＞のWeb Integrationならミツエーリンクスにお任せください。 |
[ 127] 集合知の利用 | 実践！Webマーケティング：Blog | ミツエーリンクス
[引用サイト] http://marketing.mitsue.co.jp/archives/000117.html
